Шпаргалки по ВЫШКЕ

Дисциплина: Разное
Тип работы: Шпаргалки
Тема: Шпаргалки по ВЫШКЕ

Основы фифференциального исчисления . Понятие производной.
– приращение аргумента.
) – приращение функции. Пример:
Определение:
Произв. функ.
) в точке Х наз. предел отношения приращения функ. к приращению аргум., когда последнее стремится к 0.
Геометрический смысл производной.
Ку.к. – угловой коэф. касательной.
Ксек – угловой коэф. секущей.
Таким образом угловой коэффициент касательной совпадает со значение производной в данной точке.
Уравнение касательной к графику функции
) в точке М0 (
0) имеет вид:
Физический смысл производной.
) – путь за данное время.
) – приращение пути.
–средняя скорость на участке.
мгновен. скорость на участке:
произв. пути от скорости: S\'(t)=U(t)
Теорема
: Связь между непрерывной и дифференцируемой функцией.
Функция наз. диферинцируемой если она имеет производную.
Если функция диффер. в точке х, то она и непрерывна в этой точке.
Доказательство:
Правила дифференцирования
Теорема: Если
) и
) дифферен. в точке х, то:
Доказательство 2-го правила.
Теорема о произв. сложной функции.
Если
)) и существует
’(
) и
’(
), то существует
’(
’(
Доказательство:
Рассмотрим
) в задан. промеж.: [
): [
)] – наз. обратной к
), если
, для любого
, для любого у
y=sin x [-
/2],
тогда
x=arcsin y, y
[1,1]
sin arcsin y = y;
arcsin * sin x=x
Теорема о произв. обратной функции.
Таблица производных:
Таблица производных:
Доказательство:
Дифференциал функции.
Определение:
Если Х независимая переменная, то дифференциал функции
) наз.
’(
обозначают
Теорема об инвариантной форме первого дифференциала.
df(x)=f’(x)dx
Доказательство
Производная высших порядков.
Определение:
Производная второго порядка называется производная производной данной функции:
Определение:
Производная
-го порядка называется производной производной
-1-го порядка.
Пример
Используя метод математической индукции несложно показать, что:
-ая производная обладает свойством линейности, т.е.:
Дифференцирование функций заданных параметрически.
Пример 1:
возьмем
=1, тогда
’(2)=7/3
Пример
Основные теоремы матим. анализа.
1. Теорема Ферма.
Если
) дифф. в точке
и принимает в хтой точке наибольш. или наименьш. значение для некоторой окресности точки
, то
’(
)=0.
Доказательство
пусть
) – наибольшая.
2.Теорема Ролля.
Если функция
) непрерывна на заданном промеж/ [
] деффер. на интервале (
) то существует т. с из интерв. (
), такая, что
’(
)=0.
3. Теорема Коши.
Если
) удовл. трем условиям:
) непрерыв. на промеж [
) деффер. на интервале (
’(
0 на интер. (
), то сущ. т. с
) (неравны по теореме Ролля).
) – непрерывна на [
) – дефференцированна на (
3). F(a)=0 ; F(b)=0
по теореме Ролля сущ. с
’(с)=0
4.Теорема Лагранжа.
Если функция
) непрерывна на [
] и дефференцирована на (
), то сущест.
(a,b),
такая
что
: f(b)-f(a)=f’(c)(b-a).
Доказательство:
применим т.Коши, взяв только
, тогда
’(
Правила Лопиталя.
Раскрытие неопределенности.
Теорема:
Если функция
) дефференцирована в окресности т. а, причем
)=0 и существует предел
Доказательство
Формула Тейлора.
Определение:
многочлен Тейлора
-го порядка функции
) в точке
назыв.
Пример:
Определение:
остаточным членам формулю Тейлора
-го порядка наз.:
Теорема
: Если функция
+1) – дефферен. в окресности точки
, то для любого
из этой окресн. сущ. т. с(
Правила дифференцирования
Производные степенных и тригонометрических функций.
Основные формулы:
Производная сложной функции.
Производные показательных и логарифмических функций.
Основные формулы:
Если
) – дифференцируемая функция от x, то формулы имеют вид:
Производные обратных тригонометрических функций.
Основные формулы:
Для сложных функций:
Аналитические признаки поведения функции.
Теорема
: Критерий постоянства фун.
Функция
const
на промежутке [
], тогда, когда
’(
)=0 на интервале (
Док-во
’(
’=0 возьмем
] и применим т. Лангранжа
] по т. Лангранжа
’(
)=0;
) для любого
const
Теорема
: Достаточный признак возрастания функции.
Если
’(
)0, (
), то
) возрастает на [
Док-во
возьмем
применим т. Лангранжа
) на [
по этой теореме
’(
).Замечание: данные условия не являются необходимыми.
Теорема
: достаточный признак убывания функции.
Если
’(
)0 на (
), то
) убывает на [
Док-во 1
подобно предыдущему.
Док-во 2
),тогда
’(
’(
) - возрастает =
) – убывает.
Несложно показать, что если функция возрастает (убывает) на [
], то ее произв. не отрицат.(положит.) на (
) возрастает: [
’(
Признаки экстремума функций.
Опред
точка
называется точкой
) если существ. такая окрестность данной точки, что в
фун. принимает наибольшее (наименьшее) значение.
Точка х0 наз. точкой экстремума, если эта точка
или
данной функции.
Теорема
: Необходимый признак экстремума функции.
Если х
точка экстремума
), то :
1). Либо не существует
’(
2). Либо
’(
Док-во
1). Не сущест.
’(
2). Сущест.
’(
) - по т. Ферма
’(
Замечание:
данные условия не являются достаточными.
Поиск наибольшего и наименьшего значения непрерывных функций на замкнутом промежутке.
Теорема
: Первый достаточный признак экстремума функции.
Если
’(
)0 на интервале (
-б,х
) и
’(
)0 на интервале (х
+б) т.е. меняет знак с плюса на минус при переходе на точку х
, т.е. х
– точка максимума
), а если же меняет знак с минуса на плюс, то х
– точка минимума.
Доказательство
Теорема
Второй достаточный признак максимума функции.
Если
) имеет непрерывную вторую производную в окрестности точки х
, и:
1). f’(x
2). f’’(x
то х0 точка максимума (аналогично, если
’’(
)0, то х
– точка минимума)
Док-во
Возьмем окрестность, где вторая производная сохраняет знак и запишем формулу Тейлора 1-го порядка для х из данной окрестности.
Выпуклость графика функции.
Опр
. График функции
) называется выпуклым вниз (вверх) если он расположен выше (ниже) любой касательной проведенной к графику функции на данном интервале.
Теорема
: Достаточный признак выпуклости графика функции вниз.
Если функция
) дважды дефференц. на нтервале (
) и ее вторая производн.
’’(
)0 на интервале (
), то график функции
) выпуклый вниз на интервале (
Возьмем
.Из первого вычтем второе
Поэтому
следовательно график функции расположен выше касательной
Аналогично, если
’’(
)0 на (
) то график функции
) - выпуклый вверх, на данном интервале.
Асимптоты.
Опр
. Часть графика называется бесконечной ветвью если при движении точки по этой части, расстояние между ей и началом координат стремится к бесконечности.
Опр.
Прямая называется асимптотой бесконечной ветви графика функции, если при удалении точки от начала координат по этой ветви, расстояние до данной прямой стремится к нулю.
Теорема 1
(вертикальная прямая) – является асимптотой для бесконечно вертикальной ветви графика функции
), тогда когда
, при
Теорема 2
Критерий существования наклонной асимптоты прямая
является асимптотой для правой (левой) ветви графика функции тогда, когда существует предел при :
Док-во
Точка
) и прямая
=0, то рассто...

Забрать файл

Похожие материалы: