Исследование явления дисперсии электромагнитных волн в диэлектриках
Дисциплина: Химия и физикаТип работы: Курсовая
Тема: Исследование явления дисперсии электромагнитных волн в диэлектриках
Содержание.
Введение......................................................................................................................
§ 1. Материальные уравнения электромагнитного поля в среде с дисперсией.....5
§ 2. Закон дисперсии. Вектор объемной плотности поляризации.......................
..10
§ 3. Зависимость показателя преломления и поглощения от частоты................
..12
Заключение.................................................................................................................15
Литература..................................................................................................................16
Введение.
Важнейшей характеристикой линейной распределенной системы является закон дисперсии, который связывает волновое число и частоту монохроматической волны. Он может быть записан
как
или в неявной форме
Когда плоская волна описывается одним (вообще говоря, интегродифференциальным) уравнением, закон дисперсии получают, отыскивая его решение в виде
. В простейшем случае процесс распространения волны описывается уравнением
При этом волновое число связано с частотой линейной зависимостью
, или
, где скорость распространения волны
есть постоянная величина. Однако уже при учете диссипативных процессов поведение волны описывается более сложными уравнениями. Закон дисперсии
также усложняется. Для звуковых волн в вязкой теплопроводящей среде и электромагнитных волн в среде с проводимостью справедливы следующие соотношения между волновым
числом и частотой:
В более общих случаях от частоты могут сложным образом зависеть действительная и мнимая части волнового числа:
Действительная часть характеризует зависимость от частоты фазовой скорости распространения волны
, а мнимая часть — зависимость коэффициента затухания волны от частоты.
Во многих случаях волновой процесс удобно описывать не одним уравнением типа волнового, а системой связанных интегродифференциальных уравнений
. Здесь
— матричный оператор, действующий на вектор-столбец
.В качестве
, например, для акустических волн может служить совокупность переменных
(колебательная скорость, приращения плотности, давления, температуры), а для электромагнитных волн — компоненты векторов напряженностей электрического и магнитного полей,
электрического смещения и магнитной индукции. В этом случае формальная схема отыскания закона дисперсии такова. Ищем решение системы в виде
Решение будет нетривиальным, только если
. Отсюда получаются искомые зависимости
. Наличие у дисперсионного уравнения нескольких корней
означает, что система может описывать несколько типов собственных волн (мод) среды.
Частотная дисперсия приводит к изменению закономерностей распространения немонохроматических волн. Действительно, различные спектральные компоненты обладают в диспергирующей
среде отличающимися скоростями и коэффициентами затухания:
В силу дисперсии фазовой скорости в процессе распространения изменяются фазовые соотношения между спектральными компонентами. Следовательно, изменяется результат их интерференции:
форма немонохроматической волны искажается. Дисперсия коэффициента поглощения
приводит к трансформации частотного спектра волны
и дополнительному искажению формы импульса.
§1. Материальные уравнения электромагнитного поля в среде с дисперсией.
Дисперсионные эффекты часто проявляются при распространении электромагнитных волн. Покажем, как видоизменяются исходные уравнения при учете этих свойств. Система уравнений
Максвелла сохраняет свой вид. Свойства среды должны быть учтены в материальных уравнениях:
Для статических и медленно изменяющихся полей можно написать
где
— константы, т. е. значения
в некоторой точке среды и в некоторый момент времени определяются значениями
в той же точке и в тот же момент времени.
При быстром изменении поля вследствие инерции внутренних движений и наличия пространственной микроструктуры среды наблюдается зависимость поляризации от поля, действующего в
других точках и в другие моменты времени. При этом нужно иметь в виду, что в силу условия причинности поляризация и, следовательно, индукция зависят от полей, действовавших только в
предыдущие моменты времени.
Сказанное можно записать математически, представляя материальные уравнения в общей интегральной форме:
(1.1)
(1.2)
(1.3)
По дважды встречающимся индексам здесь и везде в дальнейшем предполагается суммирование.
Выражения (1.1) — (1.3) представляют собой наиболее общую функциональную форму записи материальных уравнений для линейной среды. В этой записи учтена возможность проявления
нелокальности, запаздывания и анизотропных свойств среды.
В частном случае, если среда однородна в пространстве и не изменяет со временем своих свойств, материальные характеристики
должны зависеть лишь от разностей координат
и времени
. Тогда
(1.4)
(1.5)
(1.6)
Связь между электрическим смещением и магнитной индукцией, полями и поляризациями среды определяется соотношениями
(1.7)
Поэтому материальные уравнения можно записать также в виде
(1.8)
где
— тензор восприимчивости среды. Аналогичное выражение можно записать для
Для проведения дальнейшего анализа удобно разложить
по плоским волнам:
После обычного перехода в фурье-представление в выражениях для
получаем простую зависимость
(1.9)
(1.9)
где
(1.10)
Видно, что компоненты тензора диэлектрической проницаемости зависят в общем случае от частоты и от волнового вектора волны.
Аналогичный вывод можно сделать для магнитной проницаемости
и проводимости
Таким образом, дисперсия при распространении электромагнитных волн может проявляться двояким образом — как частотная (за счет зависимости
от частоты) и как пространственная (за счет зависимости этих же параметров от волнового вектора
). Частотная дисперсия существенна, если частота электромагнитных волн близка к собственным частотам колебаний в среде. Пространственная же дисперсия становится заметной, когда
длина волны сравнима с некоторыми характерными размерами.
Для электромагнитных волн в большинстве случаев, даже в оптическом диапазоне, характерный размер
(где
— длина волны в среде:
) и пространственной дисперсией можно пренебречь. Однако в магнитоактивной плазме существуют области резонанса, в которых
и параметр
становится значительным уже в радиодиапазоне. Кроме того, при полном пренебрежении величинами, содержащими малое отношение
, не учитываются некоторые явления, возникающие при распространении электромагнитных волн в различных средах. Так, учет пространственной дисперсии в плазме позволяет объяснить
появление бегущих плазменных волн. Пространственная дисперсия является главной причиной (а не поправкой), вызывающей появление естественной оптической активности и оптической
анизотропии кубических кристаллов. Если не интересоваться этими специальными случаями, то при рассмотрении частотной дисперсии пространственной дисперсией можно пренебречь.
При учете только частотной дисперсии материальное уравнение (1.9) имеет вид
(1.11)
В отличие от (1.9) здесь взяты н...