Операторы в вейвлетном базисе

    Дисциплина: Разное
    Тип работы: Курсовая
    Тема: Операторы в вейвлетном базисе

    Белорусский государственный университет
    Факультет прикладной математики и информатики
    Кафедра математической физики
    ГРОМОВА МАРИЯ МИХАЙЛОВНА
    ОПРЕАТОРЫ В ВЕЙВЛЕТНОМ БАЗИСЕ
    Курсовая работа студентки 4 курса
    Научный руководитель:
    Глушцов Анатолий Ильич
    кафедры МФ
    кандидат физ.-мат. наук
    Минск 2004
    СОДЕРЖАНИЕ
    ВВЕДЕНИЕ………..………………………………………………………..3
    МНОГОМАСШТАБНЫЙ АНАЛИЗ И ВЕЙВЛЕТЫ………………...5
    БЫСТРОЕ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ….……………………...9
    ДВУМЕРНЫЕ ВЕЙВЛЕТЫ…………………………………………..12
    МАТРИЧНЫЕ ОПЕРАЦИИ………………………………………….13
    4.1. Матричное умножение………………………………………...13
    4.2. Обращение матрицы…………………………………………...16
    4.3. Вычисление экспоненты, синуса и косинуса от матрицы.….16
    ЛИТЕРАТУРА……………………………………………………………18
    ВВЕДЕНИЕ
    Вейвлет-преобразование сигналов (wavelet transform), теория которого оформилась в начале 90-х годов, является не менее общим по областям своих применений, чем классическое
    преобразование Фурье. Принцип ортогонального разложения по компактным волнам состоит в возможности независимого анализа функции на разных масштабах ее изменения. Вейвлет-представление
    сигналов (функций времени) является промежуточным между полностью спектральным и полностью временным представлениями.
    Компактные волны относительно независимо были предложены в квантовой физике, физике электромагнитных явлений, математике, электронике и сейсмогеологии. Междисциплинарные исследования
    привели к новым приложениям данных методов, в частности, в сжатии образов для архивов и телекоммуникаций, в исследованиях турбулентности, в физиологии зрительной системы, в анализе
    радарных сигналов и предсказании землетрясений. К сожалению, объем русскоязычной научной литературы по тематике вейвлет-преобразований (да и нейронных сетей) относительно невелик.
    Базовая идея восходит к временам 200-летней давности и принадлежит Фурье: аппроксимировать сложную функцию взвешенной суммой простых функций, каждая из которых, в свою очередь,
    получается из одной функции-прототипа. Эта функция-прототип выполняет роль строительного блока, а искомая аппроксимация получается комбинированием одинаковых по структуре блоков. При
    этом, если \"хорошая\" аппроксимация получается при использовании небольшого числа блоков, то тем самым достигается значительное уплотнение информации. В качестве таких блоков Фурье
    использовал синусоиды с различными периодами.
    Что прежде всего отличает вейвлет-анализ от анализа Фурье? Основным недостатком Фурье-преобразования является его \"глобальная\" чувствительность к \"локальным\" скачкам и пикам функции.
    При этом модификация коэффициентов Фурье (например, обрезание высоких гармоник с целью фильтрации шума) вносит одинаковые изменения в поведение сигнала на всей области определения. Это
    особенность оказывается полезной для стационарных сигналов, свойства которых в целом мало меняются со временем.
    При исследовании же нестационарных сигналов требуется использование некоторых локализованных во времени компактных волн, коэффициенты разложения по которым сохраняют информацию о
    дрейфе параметров аппроксимируемой функции. Первые попытки построения таких систем функций сводились к сегментированию сигнала на фрагменты (\"окна\") с применением разложения Фурье для
    этих фрагментов. Соответствующее преобразование - оконное преобразование Фурье - было предложено в 1946-47 годах Jean Ville и, независимо, Dennis Gabor. В 1950-70-х годах разными
    авторами было опубликовано много модификаций времени-частотных представлений сигналов.
    В конце 70-х инженер-геофизик Морли (Jean Morlet) столкнулся с проблемой анализа сигналов, которые характеризовались высокочастотной компонентой в течение короткого промежутка
    времени и низкочастотными колебаниями при рассмотрении больших временных масштабов. Оконные преобразования позволяли проанализировать либо высокие частоты в коротком окне времени, либо
    низкочастотную компоненту, но не оба колебания одновременно. В результате был предложен подход, в котором для различных диапазонов частот использовались временные окна различной
    длительности. Оконные функции получались в результате растяжения-сжатия и смещения по времени гаусиана. Морли назвал эти базисные функции вейвлетами (wavelets) - компактными волнами. В
    дальнейшем благодаря работам Мейера (Yves Meyer), Добеши (Ingrid Daubechies), Койфмана (Ronald Coifman), Маллы (Stephane Mallat) и других теория вейвлетов приобрела свое современное
    состояние.
    Среди российских ученых, работавших в области теории вейвлетов, необходимо отметить С.Б. Стечкина, И.Я. Новикова, В.И. Бердышева.
    1. МНОГОМАСШТАБНЫЙ АНАЛИЗ И ВЕЙВЛЕТЫ
    Определение 1. Многомасштабный анализ (
    multiresolutional
    analysis) – разложение гильбертова пространства
    1, в
    последовательность замкнутых подпространств
    (1.1)
    обладающих следующими свойствами:
    полно в
    Для любого
    ), для любого
    тогда и только тогда, когда
    Для любого
    ), для любого
    тогда и только тогда, когда
    Существует масштабирующая (
    scaling) функция
    0, что {
    образует
    базис Ритца в
    Для ортонормальных базисов можно переписать свойство 4 в виде:
    4’. Существует масштабирующая функция
    0, что {
    образует
    ортонормальный базис в
    Определим подпространство
    j как ортогональное дополнение к
    j в
    (1.2)
    и представим пространство
    ) в виде прямой суммы
    (1.3)
    Выбирая масштаб
    n, можем заменить последовательность (1.1) следующей последовательностью:
    (1.4)
    и получить
    (1.5)
    Если имеем конечное число масштабов, то, не нарушая общности, можно положить
    j=0 и рассматривать
    (1.6)
    вместо (1.4). В числовой реализации подпространство
    0 конечномерно.
    Функция
    - так называемая масштабирующая (скейлинг-) функция. С ее помощью можно определить функцию
    - вейвлет - такую, что набор
    образует ортонормальный базис в
    0. Тогда
    m=0..
    M-1.
    (1.7)
    Из свойства 4’ непосредственно следует, что, во-первых, функция
    может быть представлена в виде линейной комбинации базисных функций пространства
    -1 . Так как функции
    x)=2
    образуют ортонормальный базис в
    j, то имеем
    (1.8)
    Вообще говоря, сумма в выражении (1.8) не обязана быть конечной. Можно переписать (1.8) в виде
    (1.9)
    где
    (1.10)
    а 2
    -периодическая функция
    0 определяется следующим образом:
    (1.11)
    Во-вторых, ортогональность {
    подразумевает, что
    (1.12)
    и значит
    (1.13)
    (1.14)
    Используя (1.9), получаем
    (1.15)
    и, рассматривая сумму в (1.15) по четным и нечетным индексам, имеем
    (1.16)
    Используя 2
    -периодичность функции
    0 и (1.14), после замены
    /2 на
    , получаем необходимое условие
    (1.17)
    для коэффициентов
    k в (1.11). Заметив, что
    (1.18)
    и определив функцию
    следующим образом:
    (1.19)
    где
    k=0,…,
    L-1 ,
    (1.20)
    или преобразование Фурье для
    (1.21)
    где
    (1.22)
    можно
    показать,
    что
    при
    каждом
    фиксированном
    масштабе
    вейвлеты
    x)=2
    образуют ортонормальный базис пространства
    Равенство (1.17) определяет пару
    квадратурных зеркальных фильтров (quadrature mirror filters,
    QMF)
    H и
    G, где
    H и
    G вычисляются с помощью решения системы алгебраических уравнений. Число
    L коэффициентов фильтра в (1.11) и (1.22) связано с числом исчезающих моментов М, и
    всегда четно.
    Выбранный фильтр Н
    полностью определяет функции
    и, таким образом, многомасштабный анализ. Кроме того, в правильно построенных алгоритмах значения функций
    почти никогда не вычисляются. Благодаря рекурсивному определению вейвлетного базиса, все операции проводятся с
    квадратурными зеркальными фильтрами
    H и
    G, даже если в них используются величины, связанные с
    4. ОПЕРАТОРЫ
    Сжатие операторов или, другими словами, представление их в разреженном виде в ортонормированном базисе непосредственно влияет на скорость вычислительных алгоритмов.
    Нестандартная форма оператора Т с ядром
    y) достигается вычислением следующих выражений:
    (4.1)
    (4.2)
    (4.3)
    4.1 Оператор
    в вейвлетном базисе
    Нестандартные формы некоторых часто используемых операторов могут быть вычислены явно. Построим нестандартную форму оператора
    dx. Матричные элементы
    матриц
    матрицы
    Z для оператора
    dx легко вычисляются как
    (4.4)
    (4.5)
    (4.6)
    (4.7)
    где
    (4.8)
    (4.9)
    (4.10)
    (4.11)
    Кроме того, используя (1.8)
    и (1.19), имеем
    (4.12)
    (4.13)
    (4.14)
    Таким образом представление
    dx полностью определяется величинами
    или, другими словами, отображением
    dx на подпространство
    Предложение 4.1.
    1. Если существует интеграл (4.11), тогда коэффициенты
    Z в (5.8) удлвлетворяют следующей системе линейных алгебраических уравнений:
    (4.15)
    (4.16)
    где
    (4.17)
    2. Если
    а именно с
    Замечание. Если М=1, тогда система (4.15)-(4.16) имеет единственное решение, но интеграл (4.11) может не быть абсолютно сходящимся. Для базиса Хаара (
    мы получаем простейший конечный дифференциальный оператор
    Замечание 2. Заметим, что выражения (4.12) и (4.13) для
    особенно просто:
    Для доказательства Предложения 4.1 можно обратиться к [2].
    Для решения системы (4.15)-(4.16) можно также воспользоваться итерационным алгоритмом. Начать можно с
    4.2 Оператор
    в вейвлетном базисе
    Так же как и для оператора
    dx, нестандартная форма оператора
    n полностью определяется своим отображением на подпространство
    0, т.е. коэффициентами
    (4.18)
    если интеграл существует.
    Предложение 4.2. 1. Если интеграл в выражении (4.18) существует, тогда коэффициенты
    Z удовлетворяют следующей системе линейных алгебраических уравнений
    (4.19)
    (4.20)
    где
    дано в формуле (4.17).
    2. Пусть
    M >= (
    n+1)/2, где М – число исчезающих моментов. Если интеграл в (4.18) существует, тогда система (4.19)-(4.20) имеет единственное решение с конечным числом нулевых коэффициентов
    для
    (4.21)
    (4.22)
    (4.23)
    а для нечетных
    (4.24)
    (4.25)
    Замечание 3. Если
    M >= (
    n+1)/2, тогда решение линейной системы в Предложении 2 может существовать, когда интеграл в (4.18) не является абсолютно сходящимся.
    Интегральные уравнения второго рода
    Линейное интегральное уравнение Фредгольма есть выражение вида
    где ядро
    x) и функция в правой части
    Предположим, что {
    1,…} – ортонормальный базис для
    где коэффициенты
    ij вычисляются по формуле
    Аналогично функции
    f и
    g представимы в виде
    где коэффициенты
    i и
    i вычис...

    Забрать файл

    Похожие материалы:


ПИШЕМ УНИКАЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Заказывайте напрямую у исполнителя!


© 2006-2016 Все права защищены