Метод касательных решения нелинейных уравнений

    Дисциплина: Разное
    Тип работы: Курсовая
    Тема: Метод касательных решения нелинейных уравнений

    Пензенский приборостроительный колледж
    на тему:
    Метод касательных решения нелинейных уравнений
    Выполнил:
    Ст-т 22п группы
    ЛЯПИН
    Р.Н.
    Проверила:
    ______________
    Ковылкино – 1999 г.
    ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ
    студент Ляпин Р.Н. группа 22п
    Тема: \"Метод касательных решения нелинейных уравнений\".
    Изучить теоретический материал по заданной
    теме.
    Составить блок схему алгоритма решения задачи .
    Написать программу на языке Турбо-Паскаль для решения задачи в общем виде.
    Выполнить программу с конкретными значениями исходных данных.
    Определить корни уравнения х
    3 + 0,1 * х
    2 + 0,4 * х – 1,2 = 0 аналитически и уточнить один из них с точностью до 0,000001 методом касательных
    Срок представления работы к защите: 10 мая 1999 г.
    Исходные данные для исследования: научная и техническая литература.
    Руководитель курсовой работы:
    Кривозубова С.А.
    Задание принял к исполнению:
    Ляпин Р.Н.
    РЕФЕРАТ
    Курсовая работа содержит:
    страниц, 1 график, 5 источников.
    Перечень ключевых понятий:
    производная, метод касательных, программирование, нелинейное уравнение.
    Объект исследования:
    Корни нелинейного уравнения.
    Цель работы:
    Определение корней нелинейного уравнения.
    Методы исследования:
    изучение работ отечественных и зарубежных авторов по данной теме.
    Полученные результаты:
    изучен метод касательных решения нелинейных уравнений; рассмотрена возможность составления программы на языке программирования Турбо-Паскаль 7.0
    Область применения:
    в работе инженера.
    СОДЕРЖАНИЕ
    стр.
    ВВЕДЕНИЕ
    .....................................
    1. Краткое описание сущности метода касательных
    ( метода секущих Ньютона)
    .................
    2. Решение нелинейного уравнения аналитически .
    . Блок схема программы
    ..............
    ......
    4. Программа на языке
    PASCAL 7.0 ...
    ............
    5. Результаты выполнения программы .............
    СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННИХ ИСТОЧНИКОВ
    .............
    ВВЕДЕНИЕ
    Процедура подготовки и решения задачи на ЭВМ достаточно сложный и трудоемкий процесс, состоящий
    из следующих этапов:
    Постановка задачи (задача, которую предстоит решать на ЭВМ, формулируется пользователем
    или получается им
    в виде задания).
    Математическая формулировка задачи.
    Разработка алгоритма решения задачи.
    Написание программы на языке программирования.
    Подготовка исходных данных .
    Ввод программы и исходных данных в ЭВМ.
    Отладка программы.
    Тестирование программы.
    Решение задачи на ЭВМ и обработка результатов.
    В настоящей курсовой работе условие задачи дано в математической формулировке, поэтому необходимость в выполнении этапов 1 и 2 отпадает и сразу можно приступить к разработке
    алгоритма решения задачи на ЭВМ. Под алгоритмом понимается последовательность арифметических и логических действий над числовыми значениями переменных, приводящих к вычислению
    результата решения задачи при изменении исходных данных в достаточно широких пределах. Таким образом, при разработке алгоритма решения задачи математическая формулировка преобразуется
    в процедуру решения, представляющую собой последовательность арифметических действий и логических связей между ними. При этом алгоритм обладает следующими свойствами:
    детерминированностью, означающей, что применение алгоритма к одним и тем же исходным данным должно приводить к одному и том уже
    результативностью, обеспечивающей получение результата через конечное число
    шагов.
    Наиболее наглядным способом описания алгоритмов является описание его в виде схем. При этом алгоритм представляется последовательность блоков, выполняющих определенные функции,
    и связей между ними. Внутри блоков указывается информация, характеризующая выполняемые ими функции. Блоки схемы имеют сквозную нумерацию.
    Конфигурация и размеры блоков, а также порядок построения схем определяются ГОСТ 19.002-80 и ГОСТ 19.003-80.
    На этапе
    4 составляется программа на языке Турбо-Паскаль. При описании программы необходимо использовать характерные приемы программирования и учитывать специфику языка. В
    качестве языка программирования выбран язык ПАСКАЛЬ ввиду его наглядности и облегченного понимания для начинающих программистов, а также возможности в дальнейшем использовать для
    решения более трудных задач.
    Этапы алгоритмизации и программирования являются наиболее трудоемкими, поэтому им уделяется большое внимание.
    В процессе выполнения курсовой работы студент готовит исходные данные, вводит программу и исходные данные. При работе ввод программы и исходных данных осуществляется с
    клавиатуры дисплея.
    Отладка программы состоит в обнаружении и исправлении ошибок, допущенных на всех этапах подготовки задач к решению на ПЭВМ. Синтаксис ошибки обнаруживается компилятором, который
    выдает сообщение, указывающее место и тип ошибки. Обнаружение семантических ошибок осуществляется на этапе тестирования программы, в котором проверяется правильность выполнения
    программы на упрощенном варианте исходных данных или с помощью контрольных точек или в режиме пошагового исполнения.
    Задание при обработке на
    ЭВМ проходит ряд шагов: компиляцию, редактирование (компоновку) и выполнение.
    Обработка результатов решения задачи осуществляется с помощью ЭВМ. Выводимые результаты оформлены в виде, удобном для восприятия.
    1. Краткое описание сущности метода касательных
    ( метода секущих Ньютона)
    Пусть на отрезке [a; b] отделен корень с уравнения f
    (x) = 0 и f
    -функция непрерывна на отрезке [a; b], а на интервале
    b[ существуют отличные от нуля производные f ’ и f ”.
    Так как f ’(x)
    0 , то запишем
    уравнение f
    (x) = 0 в виде :
    x = x – ( f
    f ’(x))
    Решая его методом итераций можем записать :
    n+1 = x
    – ( f
    f ’(x
    Если на отрезке [a;b]
    0, то нул – евое приближение выбираем x0=a. Рассмотрим геометрический смысл метода . Рассмотрим график функции y=f(x). Пусть для
    определенности f ‘(x) 0 (рис. 1). Проведем касательную к графику функции в точке B
    (b)). Ее уравнение будет иметь вид :
    y = f
    (b) + f ’(b) * (x
    Полагая в уравнении
    y = 0
    и учитывая что f ’(x)
    решаем его относительно
    Получим :
    x = b – (f (b) /f ‘(b))
    Нашли абсциссу
    точки
    пересечения касательной с осью
    ox :
    = b – (f (b) – f ’ (b))
    Проведем
    касательную к графику функции в точке
    1; f (x
    1)).Найдем абсциссу x
    2 точки с
    2 пересечения касательной с осью Ox :
    2 = x
    1 – (f (x
    ( f ’(x
    Вообще :
    k – (
    f ’(x
    Таким образом, формула (3) дает последовательные приближения (x
    k) корня, получаемые из уравнения касательной , проведенной к графику функции в точке
    ) метод уточнения корня
    b] уравнения f
    (x) =
    с помощью формулы (3) называется методом касательной или методом Ньютона.
    Геометрический смысл метода касательных состоит в замене дуги y = f (x) касательной, одной к одной
    из крайних точек . Начальное приближение x
    = a или
    = b брать таким, чтобы вся последовательность приближения х
    k принадлежала интервалу
    b[ . В случае существования производных f ’,
    ”, сохраняющих свои знаки в интервале, за х
    берется тот конец отрезка [a;b], для которого выполняется условие
    f ’(х
    ) * f (х
    ) 0. Для оценки приближения используется общая формула :
    |c-x
    | f (x
    )/m| , где m =
    ’(x) на отрезке [a;b] .
    На практике проще пользоваться другим правилом :
    Если на отрезке [a;b] выполняется условие
    | f (x
    заданная точность решения, то неравенство
    влечет выполнение неравенства
    |c-x
    В этом случае процесс последовательного приближения продолжают до тех пор, пока не выполнится неравенство :
    |c-x
    2. Решение нелинейного уравнения аналитически
    Определим корни уравнения х
    3 + 0,1х
    2 + 0,4х – 1,2 = 0 аналитически. Находим :
    (x) =
    3 + 0,1х
    2 + 0,4х – 1,2
    f ‘
    (x) =
    2 + 0,1х
    –2
    ,5 0
    f (0)
    1,2 0
    f (+1)
    sign f (x)
    Следовательно, уравнение имеет действительный корень, лежащий в промежутке
    [ 0; +1 ].
    Приведем уравнение к виду
    , так , чтобы
    ‘ (x) | 1
    при 0
    Так как
    max | f ’(x) | = f ’(+1) = 3 + 0,1 + 0,4 = 3,5
    то можно взять
    R = 2.
    Тогда
    (x) = x – ( f (x) / R) = x – 0,5
    – 0,5
    Пусть х
    = 0 , тогда х
    Вычисления расположим в таблице.
    f (x)
    0,85
    -0,17363
    0,85
    0,7225
    0,614125
    0,9368125
    0,08465
    0,9368125
    0,87761766
    0,822163194
    0,89448752
    -0,04651
    0,89448752
    0,800107923
    0,715686552
    0,917741344
    0,024288
    0,917741344
    0,842249174
    0,772966889
    0,905597172
    -0,01306
    0,905597172
    0,820106238
    0,74268589
    0,912129481
    0,006923
    0,912129481
    0,83198019
    0,758873659
    0,908667746
    -0,0037
    0,908667746
    0,825677072
    0,750266124
    0,910517281
    0,001968
    0,910517281
    0,829041719
    0,754856812
    0,909533333
    -0,00105
    0,909533333
    0,827250884
    0,752412253
    0,910057995
    0,000559
    0,910057995
    0,828205555
    0,753715087
    0,909778575
    -0,0003
    0,909778575
    0,827697055
    0,753021048
    0,909927483
    0,000159
    0,909927483
    0,827968025
    0,753390861
    0,909848155
    -8,5E-05
    0,909848155
    0,827823665
    0,753193834
    0,909890424
    4,5E-05
    0,909890424
    0,827900583
    0,753298812
    0,909867904
    -2,4E-05
    0,909867904
    0,827859602
    0,753242881
    0,909879902
    1,28E-05
    0,909879902
    0,827881437
    0,753272681
    0,90987351
    -6,8E-06
    0,90987351
    0,827869803
    0,753256804
    0,909876916
    3,63E-06
    0,909876916
    0,827876002
    0,753265263
    0,909875101
    -1,9E-06
    0,909875101
    0,827872699
    0,753260756
    0,909876068
    1,03E-06
    График функции
    3 + 0,1х
    2 + 0,4х – 1,2
    3. Блок схема программы
    Начало
    a:=0;
    b:=1;
    c:=0.00000001;
    y0:= f(
    нет
    да
    Конец
    := х
    y0:= f(х
    Печать на дисплей промежуточных
    , f(
    Печать на дисплей конечных значений
    , f(
    4. Программа на языке
    PASCAL 7.0
    program
    metod_kasatel;
    Название программы
    uses Crt
    Модуль дисплейных функций
    Блок описаний переменных
    1,a,b,c,mx,y0,x0 :real;
    function
    f1(x
    :Real): Real;
    Основная функция
    begin
    f1 := x
    *x1*x
    1*(-0.5)-
    function
    f2(x4:Real): Real;
    Производная от основной функции
    begin
    f2 := x
    *x4*x
    4–1.2
    begin
    Начало основного тела программы
    rscr
    Очистка экрана перед выполнением программы
    iteln
    (\' От A=\',a,\' до B=\',b);
    Вывод на экран}
    riteln
    (\' Погрешность с=\',c);
    Readln
    Ожидание нажатия клавиши
    Enter}
    1:= f
    while
    c do
    Проверка по точности вычисления корня
    begin
    Тело цикла
    Печать промежуточного результата
    Write...

    Забрать файл

    Похожие материалы:


ПИШЕМ УНИКАЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Заказывайте напрямую у исполнителя!


© 2006-2016 Все права защищены