Зенон Элейский, его парадоксы и понятия бесконечности
Дисциплина: ФилософияТип работы: Реферат
Тема: Зенон Элейский, его парадоксы и понятия бесконечности
З Е Н О Н
Э Л Е Й С К И Й ,
Е Г О
П А Р А Д О К С Ы
П О Н Я Т И Е
Б Е С К О Н Ч Н О С Т И
Пифагорийская школа.
Пифагор основал братство религилзного, философского и научного характера с политическим уклоном. Труды, приписываемые обычно Пифагору, относятся не только к легендарному Пифагору,
но вообще к трудам этой школы между 585 и 400 г. до н. э .
своей космологической концепции Пифагор отказался от монистической идеи первичной субстанции, породившей всю Вселенную. Его концепция дуалистична, и в напряжении
между двумя противоположными принципами -
ограниченное - неограниченное, нечетное - четное, единое - множественное, прямое - кривое, квадратное -
продолговатое -
он видел причину всякого развития.
Мало интересуясь материальными
элементами, которые могли бы дать представление о
генезисе различных составных частей Вселенной, Пифагор, увлеченный глубоким религиозным течением, охватившим Грецию того времени, стремился дать глобальную картину
космоса в целом. Основу всего он видел в числе, о чем свидетельствует его девиз: “Все есть число”.
Наиболее
важным среди приписываемых пифагорейцам открытий было открытие иррационального в виде несоизмеримых отрезков прямой линии. Возможно, что оно было сделано в связи с
исследованием геометрического среднего а:в = в:с, величиной, которая интересовала пифагорейцев и служила символом аристократии. Чему равно геометрическое среднее единицы и двойки,
двух священных символов?
Это вело к изучению отношения сторон и диагонали квадрата, и было обнаружено, что такое отношение не выражается “числом”, то есть тем, что мы теперь называем
рациональным числом (целым числом или дробью), а только такие числа допускались пифагорейской арифметикой. Другими словами, иррациональные числа были открыты, когда стало ясно, что
некоторые отношения нельзя выразить с помощью целых чисел. Это открытие ознаменовало крушение пифагорейской точки зрения о представимости мира с помощью целых чисел и вызвало первый
кризис в истории математики.
Элеаты
. Влияние Элейской школы (V в. до н.э.) на
формирование абстрактной научной мысли огромно. Основатель этой школы, Парменид, был первым, кто строго различал чувственное и умопостигаемое, что привело к
неизбежной конфронтации между опытом и требованиям разума. именно поэтому элеаты не приняли пифагорейскую доктрину, ставящую в соответствие всякой вещи число. если дискретные объекты
можно представить целыми числами. то иначе обстоит дело в случае непрерывных
величин, таких, как длины, площади, объемы и.т.д., которые в общем случае можно интерпретировать как дискретные наборы единиц, лишь если допускать существование
бесконечного числа очень малых элементов, из которых эти объекты состоят. В качестве реакции на эту последнюю концепцию Зенон Элейский (род. между 495 и 480 гг. до н.э.) сформулировал
четыре парадокса, иллюстрирующих невозможность бесконечной делимости и всякого движения, если мыслить пространство и время состоящими из неделимых частей. Общая цель его аргументов
показать те нелепости, к которым приходят, когда пытаются получить непрерывные величины из бесконечно малых частиц, взятых в бесконечном множестве.
Исчисление бесконечно малых ведет свое начало от интуитивного представления греков о непрерывности, математической бесконечности и пределе, а также от тех трудностей, с которыми
они столкнулись при попытках явно определить эти понятия. Эти три понятия были корректно определены
лишь в XIX в., когда математики захотели систематизировать достижения
своей науки, и им пришлось пересмотреть основания, чтобы подвести под математическое здание прочный фундамент.
Числа и геометрические величины.
Мы видели, что пифагорейцы уподобляли числа геометрическим точкам: единицу - одной точке, некоторое другое число - группе точек, образующих некоторую геометрическую фигуру. Каждое
число у них было дискретным набором единиц;
таким образом, пифагорейская
арифметика ограничивалась изучением положительных целых чисел и отношений целых чисел, которые не считались числами.
Всякая непрерывная величина - линия, поверхность, тело - могла быть отождествлена с некоторым соответствующим ей числом -
“количеством”(длина, площадь, объем).
Подобно тому как единица была общей мерой целых чисел,
величины должны были иметь общую единицу измерения - быть
с о и з м е р и м ы м и - и каждая величина отождествлялась с целым числом составляющих ее единиц. Эта попытка отождествить целые числа с непрерывными величинами,
интерпретировать непрерывное в терминах дискретного ни к чему не привела и быстро провалилась. Решающую роль, как уже говорилось, в этом сыграло открытие иррациональных чисел.В
квадрате со стороной 1 отношение диагонали к стороне равно
вообще не имеет статуса в пифагорейской арифметике. Сторона и диагональ не имеют общей единицы измерения и называются
н е с о и з м е р и м ы м и.
Взаимное соответствие между величиной и числом, знакомое пифагорейцам, оказалось нарушенным. Если каждому числу соответствует некая длина, то какие числа нужно
сопоставить несоизмеримым величинам?
Парадоксы Зенона и
понятие бесконечности. Именно в связи с открытием несоизмеримых величин в греческую математику проникло понятие бесконечности. В своих поисках общей единицы измерения
для всех величин
греческие геометры могли бы рассмотреть бесконечно делимые величины, но идея бесконечности приводила их в глубокое смятение. Если даже рассуждения о бесконечном
проходили успешно, греки в своих математических теориях всегда пытались его обойти и исключить. Их затруднения перед явным выражением абстрактных понятий бесконечного и
непрерывного,противоположных понятиям конечного и дискретного, ярко проявились в парадоксах Зенона Элейского.
Доводами Зенона были
они должны были продемонстрировать, что оба предположения заводят
в тупик.
Эти парадоксы известны под названием А х и л л е с, С т р е л а, Д и х о т о м и я (деление на два) и С т а д и о н. Они сформулированы так, чтобы
подчеркнуть противоречия в понятиях движения и времени, но это вовсе не попытка разрешить такие противоречия.
Апория “Ахилл и черепаха” противостоит идее бесконечной делимости пространства и времени. Быстроногий Ахилл соревнуется в беге с черепахой и благородно предоставляет ей фору.
Пока он пробежит расстояние, отделяющее его от точки отправления черепахи, последняя проползет дальше; расстояние между Ахиллом и черепахой сократилось, но черепаха сохраняет
преимущество. Пока Ахилл пробежит расстояние, отделяющее его от черепахи, черепаха снова проползет еще немного вперед, и т. д. Если пространство бесконечно делимо ,
Ахилл никогда не сможет догнать черепаху. Этот парадокс
построен на трудности суммирования бесконечного числа все более малых величин и невозможности интуитивно представить себе, что эта сумма равняется конечной
величине.
Еще более явным этот момент становится в апории “Дихотомия”:
прежде чем пройти некоторый отрезок, движущееся тело вначале должно пройти половину этого отрезка, затем половину половины, и так дал...