История теоретического изучения течения жидкости в картинках и примерах

    Дисциплина: Химия и физика
    Тип работы: Реферат
    Тема: История теоретического изучения течения жидкости в картинках и примерах

    В реферате, который вы сейчас читаете, предпринята попытка осветить некоторые

    этапы развития теории турбулентности. Так как задача описания турбулентности

    возникла приблизительно полтора века назад, то охватить ту огромную область

    науки в которую развилась эта проблема с течением времени не представляется

    возможным. Поэтому автор и не пытался ``объять необъятное\'\', а поставил себе

    более скромную цель --- рассмотреть несколько различных подходов к проблеме,

    дающих представление о многообразии используемых методов, и рассмотреть их

    более или менее подрбно.

    \\beginsection{Как всё начиналось}

    История математического описания течения жидкости началась в 1741 году, когда

    прусский император Фридрих Великий пригласил Леонарда Эйлера работать в

    Потсдам. Согласно популярной

    истории, за достоверность которой автор не ручается,

    одной из задач Эйлера было сооружение фонтана. Как истинный теоретик

    он начал свою работу с вывода законов движения жидкости.

    В 1755 году в письме Ньютону он

    приводит уравнение, описывающее движение жидкости, которое в современных

    обозначениях для случая постоянной плотности выглядит так:

    $$ {\\partial \\u\\arg \\over \\partial t} + \\u\\arg \\scal \\nabla\\, \\u\\arg

    = -\\nabla p\\arg .$$

    Где $\\u\\arg$ и $p\\arg$ --- скорость жидкости и давление в пространственной

    точке~$\\r$ в момент времени~$t$, а точка в $\\u\\arg\\scal\\nabla$ означает

    скалярное произведение. Левая часть уравнения Эйлера --- ускорение

    бесконечно малого элемента жидкости, а правая часть --- сила действующая на

    этот элемент, которая порождается неоднородностью распределения давления в

    жидкости. Таким образом уравнение Эйлера --- это фактически уравнение Ньютона

    для элемента жидкости.

    Однако, попытка построить фонтан используя это уравнение была обречена на

    неудачу, так как скорость жидкости, предсказываемая этим уравнением для

    данного градиента давления, оказывается гораздо больше нежели наблюдаемая.

    Дело в том, что при выводе уравнения Эйлера было упущено немаловажное, как

    выяснилось, соображение о наличии

    вязкого трения, т.~е. диссипации энергии при трении соседних элементов

    жидкости друг о друга. Член учитывающий этот процесс был добавлен в уравнение

    Навье в 1827 и Стоксом в 1845. Получившееся уравнение известно как уравнение

    Навье

    -Стокса

    $$ {\\partial \\u\\arg \\over \\partial t} + \\u\\arg \\scal \\nabla\\, \\u\\arg

    = -\\nabla p\\arg +\\nu \\nabla^2 \\u\\arg .$$

    Где $\\nu$ --- кинематическая вязкость, для воды и воздуха при комнатной

    температуре она соответственно равна 0.01 и 0.15 см${}^2$/сек.

    Если бы член с вязкостью отсутствовал, то кинетическая энергия $\\u^2/2$

    сохранялась бы. При наличии этого члена кинетическая энергия рассеивается

    и превращается в тепло. Таким образом устанавливается, что в отсутствие

    подкачки энергии извне в конце концов всякое движение в жидкости прекратится.

    \\beginsection{Простые оценки}

    Уже простейшие оценки на решение уравнения Навье-Стокса могут оказаться

    очень далеки от реальности. Например, можно оценить скорость течения в великих

    реках, таких как Нил и Волга, длина которых достигает тысяч километров, а

    перепад высот между истоком и устьем составляет сотни метров. Оценим характерный

    угол наклона ложа реки $\\alpha$ как $10^{-4}$ радиан, а характерную глубину

    $L$ как 10 метров. Приравнивая силу тяжести $\\alpha g$ ($g\\simeq 10^3$

    см/сек${}^2$) к силе вязкого трения $\\nu\\, d^2u/dz^2 \\sim \\nu u/L^2$, находим

    $u\\sim 10^7$ см/сек. Конечно же это абсурд, возможно к большому сожалению

    сплавщиков леса. Эта оценка противоречит даже закону сохранения энергии.

    Потенциальная энергия накопленная водой на перепаде высот $H$ равна

    $\\rho g H$. Для таких рек как Нил и Волга $H\\sim 5\\times 10^4$ см и,

    приравнивая потенциальную энергию кинетической, для скорости получаем

    $u\\sim \\sqrt{2\\rho g H}\\simeq 10^4$ см/сек. Эта оценка расходится с реальностью

    на два порядка. Объяснение такого несоответствия было предложено Ренольдсом,

    который заметил важность безразмерного отношения нелинейного члена уравнения

    Навье-Стокса к вязкому. Если на масштабе $L$ характерное изменение скорости

    $U$, то нелинейный член может быть оценен как $U^2/L$, а вязкий --- как

    $\\nu U/L^2$. Отношение этих членов называется числом Рейнольдса (Re) и равно

    $UL/\\nu$. Если Re~$\\ll 1$, то можно пренебречь нелинейным членом по сравнению

    с вязким. В этом случае уравнение Навье-Стокса становится линейным и в

    большинстве случаев решается. Распределение скоростей получается гладким

    без завихрений.

    Такое течение называют ламинарным. Если же реализуется обратная ситуация

    (Re~$\\gg 1$),то решение

    уравнения Навье-Стокса становится неустойчивым и приобретает сложный

    завихряющийся характер. Такое течение называют турбулентным. Как правило,

    в природе реализуется второй тип течений, так для рек упоминавшихся выше

    Re~$\\sim 10^7$.

    Таким образом мы приходим к существованию трёх областей, где течение жидкости

    происходит качественно разным образом. Первая область -- Re~$\\ll 1$ --

    область ламинарности. Вторая область -- Re~$\\sim 1$ -- область зарождения

    турбулентности. И третья область -- Re~$\\gg 1$ -- область развитой

    турбулентности.

    Далее мы сосредоточим наше внимание на рассмотрении последних двух областей.

    \\beginsection{Несколько картинок}

    Каждое течение может быть охарактеризовано своей спектральной функцией, или

    энергетическим спектром, дающим представление о распределении кинетической

    энергии по частотам движений. Спектральная функция $P(\\omega)$ определяется

    как квадрат фурье-образа поля скоростей:

    $$ \\u(\\omega)={1\\over T} \\int\\limits_0^T dt\\, e^{2\\pi i \\omega t} \\u(t),$$

    $$ P(\\omega)=|\\u(\\omega)|^2.$$

    Удобно так же пользоваться определёнными геометрическими образами, а именно

    пространством состояний жидкости, каждая точка которого отвечает

    опре\\-делён\\-ному распределению скоростей в этой жидкости. Состояниям в близкие

    моменты времени соответствуют близкие точки. (Это вообще говоря

    бесконечномерное функциональное пространство, в некоторых случаях оно может

    быть заменено конечномерным --- см. далее).

    Попытаемся понять как выглядят различные течения жидкости в терминах

    энергетического спектра и в пространстве состояний.

    Если поместить какое-либо тело в поток жидкости, например, опору моста в русло

    реки, то при очень малых скоростях жидкость течёт ламинарно (Рис.~1).

    \\Рис{1. Re $=10^{-2}$}{r1.bmp}

    Такое течение является стационарным, т.~е. скорость в любой точке

    пространства не зависит от времени. Следовательно вся энергия в спектре

    сосредоточена на нулевой частоте. В пространстве состояний такое течение

    изображается одной точкой. Эта точка является устойчивой траекторией системы,

    т.~е. если начальное течение соответствовало другой точке в пространстве

    состояний, то в пределе $t \\rightarrow \\infty$ любое распределение скоростей

    будет стремится к устойчивому. (Строго говоря не любое, а любое из области

    притяжения устойчивой траектории).

    С ростом скорости в потоке образуются вихри, однако картина продолжает

    остоваться стационарной (Рис.~2).

    \\Рис{2. Re $= 20$...

    Забрать файл

    Похожие материалы:


ПИШЕМ УНИКАЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Заказывайте напрямую у исполнителя!


© 2006-2016 Все права защищены