Нестандартный анализ

    Дисциплина: Разное
    Тип работы: Реферат
    Тема: Нестандартный анализ

    Нестандартный анализ возник в 1960 году,

    когда Абрахам Робинсон, специалист по

    теории моделей, понял, каким образом

    методы математической логики позволяют оправдать классиков математического анализа

    XVII

    XVIII

    вв., поставив на строгую основу их рассуждения, использующие

    бесконечно большие

    и бесконечно малые величины. Таким образом, речь шла не о каких-то новых

    нестандартных

    методах, не имеющих ничего общего с традиционной математикой, а о развитии новых средств внутри стандартной (теоретико-множественной) математики.

    Нестандартный анализ остался бы любопытным курьезом,

    если бы единственным его приложением было обоснование рассуждений классиков математического анализа. Он оказался полезным и при развитии новых математических теорий. Нестандартный

    анализ можно сравнить с мостом, переброшенным через реку. Постройка моста не расширяет доступной нам территории, но сокращает путь с одного берега на другой. Подобным образом

    нестандартный анализ делает доказательства многих теорем короче.

    Однако, быть может, главное значение нестандартного анализа состоит в другом. Язык нестандартного анализа оказался удобным средством построения математических моделей физических

    явлений. Идеи и методы нестандартного анализа могут стать важной частью будущей физической картины мира. Во всяком случае уже сейчас многие специалисты по математической физике

    активно используют нестандартный анализ в своей работе.

    Несколько примеров нестандартного анализа

    Пример 1.

    Вычислим производную функции

    . Дадим аргументу

    приращение

    , перейдя от точки

    к точке

    x+dx

    . Выясним, насколько при этом изменилось значение функции

    оно равнялось

    . В точке

    оно

    равняется

    . Отношение приращения

    функции

    к приращению

    равно

    Если

    в сумме

    можно пренебречь, и искомая производная равна

    Пример 2.

    Вычислим аналогичным способом производную функции

    частное

    Пример 5.

    Построение неизмеримого множества. Каждое действительное число

    для обеспечения однозначности запрещаем разложения с бесконечным числом идущих подряд единиц. Фиксируем произвольное бесконечно большое натуральное число

    и отбираем те действительные числа , у которых

    множество всех отобранных таким образом действительных чисел неизмеримо по Лебегу.

    Если примеры 1 и 2 хотя и могут шокировать нас наивной нестрогостью, но всё же в известной мере соответствуют интуиции, то пример 5 представляется просто-напросто

    абракадаброй.

    Нестандартный анализ, однако, почти сплошь состоит из подобной абракадабры, имеющей в нём точный математический смысл. Он позволяет, в частности, с новой точки зрения посмотреть

    на многие рассуждения классиков математического анализа, кажущиеся нестрогими, но приводящие к успеху, и путём относительно небольших уточнений сделать их удовлетворяющими современным

    критериям строгости.

    ЧТО

    ТАКОЕ

    БЕСКОНЕЧНО

    МАЛЫЕ

    Один из наиболее принципиальных моментов нестандартного анализа состоит в том, что бесконечно малые рассматриваются не как переменные величины, а как величины постоянные.

    Достаточно раскрыть любой учебник физики, чтобы натолкнуться на бесконечно малые приращения, бесконечно малые объёмы и т. п. Все эти величины мыслятся, разумеется, не как переменные,

    а просто как очень маленькие, почти равные нулю.

    Итак, речь будет идти о бесконечно малых числах. Какое число следует называть бесконечно малым

    Предположим, что это положительное число

    если

    больше нуля , то оно является одним из положительных чисел , поэтому наше определение требует , чтобы число

    было меньше самого себя. Поэтому потребуем, чтобы

    было наименьшим в множестве положительных чисел. На числовой оси такое

    должно изобразиться самой левой точкой множества

    с указанными свойствами тоже нет и быть не может

    число

    будет положительным числом, меньшим

    Более точное определение бесконечной малости числа

    с самим собой, получая числа

    и т. д. Если все полученные числа окажутся меньше 1, то число

    бесконечно мало, то сколько раз не откладывай отрезок длины

    вдоль отрезка длины 1, до конца не дойдёшь. Наше требование к бесконечно малому

    можно переписать в такой форме

    Таким образом, если число

    бесконечно мало, то число

    бесконечно велико в том смысле, что оно больше любого из чисел

    : 1, 1+1, 1+1+1, 1+1+1+1

    и т.д. Из сказанного можно видеть, что существование бесконечно малых противоречит так называемой аксиоме Архимеда, которая утверждает, что для любых двух отрезков А и В можно

    отложить меньший из них (А) столько раз, чтобы в сумме получить отрезок, превосходящий по длине больший отрезок (В).

    Вывод таков

    если мы хотим рассматривать бесконечно малые , мы должны расширить множество

    действительных чисел до некоторого большого множества *

    . Элементы этого нового множества мы будем называть гипердействительными числами. В нём аксиома Архимеда не выполняется и существуют бесконечно малые числа, такие, что сколько их

    не складывай с собой, сумма будет всё время оставаться меньше 1. Нестандартный, или неархимедов, анализ изучает множество гипердействительных чисел *

    Какие требования естественно предъявлять к гипердействительным числам

    . Чтобы множество гипердействительных чисел содержало все обыкновенные действительные числа

    ).Чтобы над гипердействительными числами можно было выполнять обычные операции

    любые два гипердействительные числа нужно уметь складывать, умножать, вычитать и делить, причем так, чтобы выполнялись обычные свойства сложения и умножения. Кроме того, нужно

    уметь сравнивать гипердействительные числа по величине, т.е. решить какое из них больше.

    Пусть имеется некоторое множество Р, в нём выделены некоторые элементы 0 и 1 и определены операции сложения, вычитания, умножения и деления, ставящие в соответствие двум любым

    элементам

    множества Р их сумму

    , произведение

    и частное

    (если

    если

    В таком случае множество Р называется полем. Пусть на поле Р введён порядок, т. е. для любой пары не равных друг другу элементов

    определено, который из них больше. При этом выполняются такие свойства

    (10)

    если

    , то

    (11)

    если

    для любого

    (12)

    если

    если

    В таком случае говорят, что введенный порядок превращает Р в упорядоченное поле. Упорядоченное поле Р является неархимедовым тогда и только тогда, когда в нём есть положительные

    бесконечно малые элементы. Упорядоченное поле Р называется расширением поля действительных чисел

    если Р содержит все действительные числа и, кроме того, операции и порядок из Р, рассматриваемые на элементах их

    совпадают с обычными арифметическими операциями и обычным порядком на действительных числах.

    ПРИМЕР

    НЕАРХИМЕДОВОЙ

    ЧИСЛОВОЙ

    СИСТЕМЫ

    Построим пример неархимедова упорядоченного поля, являющегося расширением поля действительных чисел.

    Предположим, что искомое расширение *

    уже построено, и исследуем его строение. Элементы множества *

    мы будем называть гипердействительными числами. Среди них содержатся и все действительные числа. Чтобы отличить их, будем называть действительные числа (элементы

    стандартными, а остальные гипердействительные числа (элементы

    —нестандартными.

    По нашему предполо...

    Забрать файл

    Похожие материалы:


ПИШЕМ УНИКАЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Заказывайте напрямую у исполнителя!


© 2006-2016 Все права защищены