Механические колебания в дифференциальных уравнениях

    Дисциплина: Разное
    Тип работы: Реферат
    Тема: Механические колебания в дифференциальных уравнениях

    Министерство образования Российской Федерации

    Магнитогорский государственный технический университет им. Г.И. Носова

    РЕФЕРАТ

    на тему:

    “МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ”

    Выполнил: студент гр. МХТ-02

    Казаков Василий Васильевич

    Проверила:

    Абрамова Ирина Михайловна

    Магнитогорск 2003

    Содержание

    Гармонические колебания

    Затухающие колебания

    Вынужденные колебания без учета сопротивления среды

    Вынужденные колебания с учетом сопротивления среды

    Колебаниями

    называются процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Колебательные процессы широко распространены в природе и технике, например

    качания маятника часов, переменный электрический ток и т.д. При колебательном движении маятника изменяется координата центра масс, в случае переменного тока колеблются напряжение и сила

    тока. Физическая природа колебаний может быть разной, однако различные колебательные процессы описываются одинаковыми характеристиками и одинаковыми уравнениями. Рассмотрим механические

    колебания.

    Гармонические колебания.

    Гармоническими колебаниями называются колебания, при которых изменяющаяся величина изменяется по закону синуса (косинуса).

    Пусть груз весом Р подвешен на вертикальной пружине, длина которой в естественном состоянии равна

    ст

    Решение

    Направим ось Ох вниз по вертикальной прямой, проходящей через точку подвеса груза. Начало координат О выберем в положении равновесии груз, то есть в точке, в которой вес груза

    уравновешивается силой натяжения пружины.

    Пусть

    означает удлинение пружины

    в данный момент, а

    ст

    —статическое удлинение, т.е. расстояние от конца нерастянутой пружины до положения равновесия. Тогда

    ст

    +х, или

    ст

    =х.

    Дифференциальное уравнение получим из второго закона Ньютона:

    где

    —масса груза а—ускорение движения и

    —равнодей-ствующая приложенных к грузу сил. В данном случае равнодействующая слагается из силы натяжения пружины и силы тяжести.

    По закону Гука сила натяжения пружины

    пропорциональна её удлинению:

    упр

    =-с

    , где с – постоянный коэффициент пропорциональности называемый жесткостью пружины.

    Так как в положении равновесия сила равновесия сила натяжения пружины уравновешивается весом тела, то

    = с

    ст

    . Подставим в дифференциальное уравнение выражение Р и заменим

    ст

    через х, получится уравнение в виде:

    или, обозначив с/

    через

    Полученное уравнение определяет так называемые свободные колебания груза. Оно называется уравнением гармонического осциллятора. Это линейное дифференциальное уравнение второго

    порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение:

    имеет мнимые корни

    , соответственно этому общее решение

    Для выяснения физического смысла решения удобнее привести его к другой форме, введя новые произвольные постоянные. Умножив и разделив на

    Если положить

    то

    График гармонических колебаний имеет вид:

    Таким образом, груз совершает гармонические колебания около положения равновесия.

    Величину А называют амплитудой колебания, а аргу­мент

    фазой колебания. Значение фазы при

    величина

    , называется

    начальной фазой колебания. Величина

    есть

    частота колебания.

    Период коле­бания

    и частота

    зависят только от жесткости пружины и от массы системы. Так как с = Р/

    ст

    ст

    то для периода можно получить также формулу:

    Скорость движения груза получается дифференцирова­нием решения по

    Для определения амплитуды и начальной фазы необхо­димо задать начальные условия. Пусть, например, в началь­ный момент

    = 0 положение груза

    и скорость

    Тогда

    , откуда

    Из формул для амплитуды и начальной фазы видно, что в отличие от частоты и периода собственных коле­баний они зависят от начального состояния системы. При отсутствии начальной

    скорости (

    =0) амплитуда А=х

    , а начальная фаза

    и, таким образом,

    или

    Затухающие колебания.

    Затухающими колебаниями называются колебания, амплитуды которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшают-ся. Найдем закон движения груза в

    условиях предыдущей задачи, но с учетом сопротивления воздуха, которое пропорционально скорости движения.

    Решение

    К силам, действующим на груз, прибав­ляется здесь сила сопротивления воздуха

    (знак минус показывает, что сила

    направлена противопо­ложно скорости

    ). Т

    огда дифференциальное уравнение движения в проекции на ось

    имеет вид

    или если положить

    Это уравнение также является линейным однородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициен­тами. Его характеристическое уравнение:

    имеет корни

    Характер движения целиком определяется этими кор­нями. Возможны три различных случая. Рассмотрим сна­чала случай, когда

    . Это неравенство имеет место, когда сопротивление среды невелико. Если поло­жить

    , то корни (4) имеют вид

    или, преобразовав, умножая и деля на

    положим, что

    тогда

    График зависимости отклонения от положения равновесия от времени имеет вид:

    Если заданы начальные условия:

    при

    = 0, то можно определить А и

    . Для этого находим

    подставляем

    выражения

    для

    получим систему уравнений

    Разделелив обе части второго уравнения на соответствующие части первого получим

    откуда

    или

    Так как

    то

    Решение (5) показывает, что имеют место затухающие колебания. Действии-тельно, амплитуда колебания

    зави­сит от времени и является монотонно убывающей функцией, причем

    при

    Период затухающих колебаний определяется по формуле

    Моменты времени, в которые груз получает максималь­ное отклонение от начала координат (положения равнове­сия), образуют арифметическую прогрессию с разностью, равной полупериоду

    Т/2. Амплитуды затухающих коле­баний образуют убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем, равным

    или

    Эта величина называется

    декрементом затухания и обычно обозначается буквой

    . Натуральный логарифм декремента

    = - пТ/2 называется

    логарифмическим декрементом затухания.

    Частота колебаний

    в этом случае меньше, нежели в предыдущем (

    Если сопротивление среды велико и

    , то, положив

    , получим корни (4) в виде

    Так как

    Отсюда видно, что движение апериодическое и не имеет колебательного характера. Аналогичный характер будет иметь движение и в случае

    , когда общее решение имеет вид

    Легко заметить,

    что

    в обоих

    последних

    случаях при

    имеем

    Если заданы начальные условия

    , то в случае, когда

    , имеем

    и, следовательно

    В случае же, когда

    получаем

    и следовательно,

    Вынужденные колебания без учета сопротивления среды.

    Вынужденными колебаниями называют колебания, вызванные внешней периодической возмущающей силой.

    Пусть груз весом Р под­вешен на вертикальной пружине, длина которой в нена­груженном состоянии равна

    . На груз действует перио­дическая возмущающая сила

    где

    и р — постоян­ные. Найдем закон движения груза, пренебрегая массой пружины и сопротивлением среды.

    Решение

    Как и для гармонических колебаний, получаем уравнение

    Полагая, как и прежде,

    и, кроме того,

    пере­пишем уравнение в виде

    Это—неоднородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, причем однородным урав­нением, соответствующим уравнению

    (8), является (1). Поэтому...

    Забрать файл

    Похожие материалы:


ПИШЕМ УНИКАЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Заказывайте напрямую у исполнителя!


© 2006-2016 Все права защищены