Методы для решения краевых задач, в том числе жестких краевых задач

    Дисциплина: Разное
    Тип работы: Реферат
    Тема: Методы для решения краевых задач, в том числе жестких краевых задач

    Методы для решения краевых задач,

    в том числе «жестких» краевых задач.

    1. Введение.

    На примере системы дифференциальных уравнений цилиндрической оболочки ракеты – системы обыкновенных дифференциальных

    уравнений 8-го порядка (после разделения частных производных).

    Система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений имеет вид:

    x) =

    x) •

    x) +

    где

    x) – искомая вектор-функция задачи размерности 8х1,

    x) – производная искомой вектор-функции размерности 8х1,

    x) – квадратная матрица коэффициентов дифференциального уравнения размерности 8х8,

    x) – вектор-функция внешнего воздействия на систему размерности 8х1.

    Здесь и далее вектора обозначаем

    жирным шрифтом вместо черточек над буквами

    Краевые условия имеют вид:

    U•

    (0) =

    V•

    (1) =

    где

    (0) – значение искомой вектор-функции на левом крае х=0 размерности 8х1,

    U – прямоугольная горизонтальная матрица коэффициентов краевых условий левого края размерности 4х8,

    – вектор внешних воздействий на левый край размерности 4х1,

    (1) – значение искомой вектор-функции на правом крае х=1 размерности 8х1,

    V – прямоугольная горизонтальная матрица коэффициентов краевых условий правого края размерности 4х8,

    – вектор внешних воздействий на правый край размерности 4х1.

    В случае, когда система дифференциальных уравнений имеет матрицу с постоянными коэффициентами

    const, решение задачи Коши имеет вид [Гантмахер]:

    x) =

    где

    = E + A(x-x

    ) + A

    (x-x

    /2! + A

    (x-x

    /3! + …,

    где E это единичная матрица.

    Матричная экспонента ещё может называться матрицей Коши и может обозначаться в виде:

    x<-

    Тогда решение задачи Коши может быть записано в виде:

    x) =

    x<-

    ) •

    x<-

    где

    x<-

    это вектор частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений.

    2. Случай переменных коэффициентов.

    Из теории матриц [Гантмахер] известно свойство перемножаемости матричных экспонент (матриц Коши):

    • … •

    ) •

    ) • … •

    ) •

    В случае, когда система дифференциальных уравнений имеет матрицу с переменными коэффициентами A=

    x), решение задачи Коши предлагается искать при помощи свойства перемножаемости матриц Коши. То есть интервал интегрирования разбивается на малые участки и на

    малых участках матрицы Коши приближенно вычисляются по формуле для постоянной матрицы в экспоненте. А затем матрицы Коши, вычисленные на малых участках, перемножаются:

    ) •

    ) • … •

    ) •

    где матрицы Коши приближенно вычисляются по формуле:

    где ...

    Забрать файл

    Похожие материалы:


ПИШЕМ УНИКАЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Заказывайте напрямую у исполнителя!


© 2006-2016 Все права защищены