Методы для решения краевых задач, в том числе жестких краевых задач

Дисциплина: Разное
Тип работы: Реферат
Тема: Методы для решения краевых задач, в том числе жестких краевых задач

Методы для решения краевых задач,

в том числе «жестких» краевых задач.

1. Введение.

На примере системы дифференциальных уравнений цилиндрической оболочки ракеты – системы обыкновенных дифференциальных

уравнений 8-го порядка (после разделения частных производных).

Система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений имеет вид:

x) =

x) •

x) +

где

x) – искомая вектор-функция задачи размерности 8х1,

x) – производная искомой вектор-функции размерности 8х1,

x) – квадратная матрица коэффициентов дифференциального уравнения размерности 8х8,

x) – вектор-функция внешнего воздействия на систему размерности 8х1.

Здесь и далее вектора обозначаем

жирным шрифтом вместо черточек над буквами

Краевые условия имеют вид:

U•

(0) =

V•

(1) =

где

(0) – значение искомой вектор-функции на левом крае х=0 размерности 8х1,

U – прямоугольная горизонтальная матрица коэффициентов краевых условий левого края размерности 4х8,

– вектор внешних воздействий на левый край размерности 4х1,

(1) – значение искомой вектор-функции на правом крае х=1 размерности 8х1,

V – прямоугольная горизонтальная матрица коэффициентов краевых условий правого края размерности 4х8,

– вектор внешних воздействий на правый край размерности 4х1.

В случае, когда система дифференциальных уравнений имеет матрицу с постоянными коэффициентами

const, решение задачи Коши имеет вид [Гантмахер]:

x) =

где

= E + A(x-x

) + A

(x-x

/2! + A

(x-x

/3! + …,

где E это единичная матрица.

Матричная экспонента ещё может называться матрицей Коши и может обозначаться в виде:

x<-

Тогда решение задачи Коши может быть записано в виде:

x) =

x<-

) •

x<-

где

x<-

это вектор частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений.

2. Случай переменных коэффициентов.

Из теории матриц [Гантмахер] известно свойство перемножаемости матричных экспонент (матриц Коши):

• … •

) •

) • … •

) •

В случае, когда система дифференциальных уравнений имеет матрицу с переменными коэффициентами A=

x), решение задачи Коши предлагается искать при помощи свойства перемножаемости матриц Коши. То есть интервал интегрирования разбивается на малые участки и на

малых участках матрицы Коши приближенно вычисляются по формуле для постоянной матрицы в экспоненте. А затем матрицы Коши, вычисленные на малых участках, перемножаются:

) •

) • … •

) •

где матрицы Коши приближенно вычисляются по формуле:

где ...

Забрать файл

Похожие материалы: