Матричный анализ

    Дисциплина: Разное
    Тип работы: Реферат
    Тема: Матричный анализ

    Курс лекций по дисциплине

    «Матричный анализ»

    для студентов II курса

    математического факультета специальности

    «Экономическая кибернетика»

    (лектор Дмитрук Мария Александровна)

    Глава 3. Функции от матриц.

    Определение функции.

    Пусть

    Решение этой задачи известно, когда f(x) – многочлен:

    Определение f(A) в общем случае.

    Пусть m(x) – минимальный многочлен А и он имеет такое каноническое разложение

    Пусть g(A)=h(A)

    (1), тогда многочлен d(x)=g(x)-h(x) – аннулирующий многочлен для А, так как d(A)=0, следовательно, d(x) делится на линейный многочлен, т.е. d(x)=m(x)*q(x)

    (2).

    Тогда

    Условимся m чисел для f(x) таких

    называть значениями функции f(x) на спектре матрицы А, а множество этих значений будем обозначать

    Если множество f(Sp A) определено для f(x), то функция определена на спектре матрицы А.

    Из (3) следует, что многочлены h(x) и g(x) имеют одинаковые значения на спектре матрицы А.

    Наши рассуждения обратимы, т.е. из (3)

    (1). Таким образом, если задана матрица А, то значение многочлена f(x) вполне определяется значениями этого многочлена на спектре матрицы А, т.е. все многочлены g

    i(x), принимающие одинаковые значения на спектре матрицы имеют одинаковые матричные значения g

    i(A). Потребуем, чтобы определение значения f(A) в общем случае подчинялось такому же принципу.

    Значения функции f(x) на спектре матрицы А должны полносильно определить f(A), т.е. функции, имеющие одни и те же значения на спектре должны иметь одно и то же матричное

    значение f(A). Очевидно, что для определения f(A) в общем случае, достаточно найти многочлен g(x), который бы принимал те же значения на спектре А, что и функция f(A)=g(A).

    Если f(x) определена на спектре матрицы А, то f(A)=g(A), где g(A) – многочлен, принимающий на спектре те же значения, что и f(A),

    Значением функции от матрицы А назовем значение многочлена от этой матрицы при

    Среди многочленов из С[x], принимающих одинаковые значения на спектре матрицы А, что и f(x), степени не выше (m-1), принимающий одинаковые значения на спектре А, что и f(x) –

    это остаток от деления любого многочлена g(x), имеющего те же значения на спектре матрицы А, что и f(x), на минимальный многочлен m(x)=g(x)=m(x)*g(x)+r(x).

    Этот многочлен r(x) называют интерполяционным многочленом Лагранжа-Сильвестра для функции f(x) на спектре матрицы А.

    Замечание.

    Если минимальный многочлен m(x) матрицы А не имеет кратных корней, т.е.

    Пример:

    Найти r(x) для произвольной f(x), если матрица

    1). Найдем минимальный многочлен H

    1 – последний инвариантный множитель [xE-H

    n-1=x

    2; d

    n-1=1;

    n(x)=d

    n(x)/d

    n-1(x)=x

    0 – n –кратный корень m(x), т.е. n-кратные собственные значения H

    (n-1)(0)=f

    (n-1)(0)

    Свойства функций от матриц.

    Свойство № 1.

    Если матрица

    (среди них могут быть и кратные), а

    Доказательство:

    Пусть характеристический многочлен матрицы А имеет вид:

    Сделаем замену в равенстве:

    Равенство (*) справедливо для любого множества f(x), поэтому заменим многочлен f(x) на

    , получим:

    Слева мы получили характеристический многочлен для матрицы f(A), разложенный справа на линейные множители, откуда следует, что

    – собственные значения матрицы f(A).

    ЧТД.

    Свойство № 2.

    Пусть матрица

    – собственные значения матрицы А, f(x) – произвольная функция, определенная на спектре матрицы А, тогда собственные значения матрицы f(A) равны

    Доказательство:

    Т.к. функция f(x) определена на спектре матрицы А, то существует интерполяционный многочлен матрицы r(x) такой, что

    которым соответственно равны

    ЧТД.

    Свойство № 3.

    Если А и В подобные матрицы,

    Доказательство:

    Т.к. А и В подобны, то их характеристические многочлены одинаковы

    одинаковы и их собственные значения, поэтому значение f(x) на спектре матрицы А совпадает со значение функции

    f(x)

    на спектре матрицы В, при чем существует интерполяционный многочлен

    r(x)

    такой, что

    f(A)=r(A),

    ЧТД.

    Свойство № 4.

    Если А – блочно-диагональная матрица

    Следствие:

    Если

    f(x) –

    функция, определенная на спектре матрицы А.

    Интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра.

    Случай № 1.

    Пусть дана

    имеет ровно

    n корней, среди которых нет кратных, т.е. все собственные значения матрицы А различны, т.е.

    Sp A – простой. В этом случае построим базисные многочлены

    k(x):

    Пусть

    f(x) –

    функция, определенная на спектре матрицы А и значениями этой функции на спектре будут

    Построим:

    Обратим внимание, что

    Пример: Построить интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра для матрицы

    Тогда для функции

    f(x), определенной

    на спектре матрицы А, мы получим:

    Возьмем

    Случай № 2.

    Характеристический многочлен матрицы А имеет кратные корни, но минимальный многочлен этой матрицы является делителем характеристического многочлена и имеет только простые корни,

    т.е.

    Случай № 3.

    Рассмотрим общий случай. Пусть минимальный многочлен имеет вид:

    где

    2+…+m

    s=m, deg r(x)m.

    Составим дробно-рациональную функцию:

    и разложим ее на простейшие дроби.

    Обозначим:

    и получим

    где

    Если в (**) положить

    Для того, чтобы найти

    надо (**) продифференцировать дважды и т.д. Таким образом, коэффициент

    определяется однозначно.

    После нахождения всех коэффициентов вернемся к (*), умножим на

    m(x)

    и получим интерполяционный многочлен

    r(x)

    , т.е.

    Пример: Найти

    f(A),

    если

    – некоторый параметр,

    Найдем минимальный многочлен матрицы А:

    Проверим, определена ли функция на спектре матрицы А

    Умножим (*) на (х-3)

    при х=3

    Умножим (*) на (х-5)

    Таким образом,

    - интерполяционный многочлен.

    Пример 2.

    Если

    Найдем минимальный многочлен матрицы А:

    2(x)=1

    , тогда минимальный многочлен

    Рассмотрим

    f(x)=sin x

    на спектре матрицы:

    функция является определенной на спектре.

    Умножим (*) на

    Умножим (*) на

    Вычислим

    , взяв производную (**):

    Итак,

    ЧТД.

    Пример 3.

    Пусть

    f(x) определена на спектре матрицы, минимальный

    многочлен которой имеет вид

    r(x)

    для функции

    f(x)

    Решение: По условию

    f(x)

    определена на спектре матрицы А

    f(1), f’(1), f(2), f ‘(2), f ‘’ (2)

    определены.

    Используем метод неопределенных коэффициентов:

    Если

    f(x)=ln x

    f(1)=0

    f’(1)=1

    f(2)=ln 2

    f’(2)=0.5

    f’’(2)=-0.25

    Простые матрицы.

    Пусть матрица

    i –

    алгебраическая кратность корня

    Обозначим множество векторов удовлетворяющих собственному значению

    r –

    ранг матрицы

    Теорема.

    Если квадратная матрица А имеет собственное значение

    имеет

    имеет кратность

    . Размерность

    называется геометрической кратностью собственного значения

    В свете этого определения теорема переформулируется следующим образом:

    Теорема.

    Алгебраическая кратность собственного значения не меньше его геометрической кратности.

    . Матрица

    называется простой, если аглебраическая кратность каждого ее собственного значения совпадает с его геометрической кратностью.

    Из линейной алгебры следует, что матрица

    простая тогда и только тогда, когда

    Если матрица А простая, тогда существует

    линейно независимых собственных векторов

    1, x

    2, …,x

    таких, что

    Замечание.

    Обратим внимание на то, что собственные значения А и А

    совпадают. Действительно, собственные значения для А

    это значения

    - собственн...

    Забрать файл

    Похожие материалы:


ПИШЕМ УНИКАЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Заказывайте напрямую у исполнителя!


© 2006-2016 Все права защищены