Правильные многогранники

    Дисциплина: Разное
    Тип работы: Реферат
    Тема: Правильные многогранники

    Определение правильного многогранника.

    Определение. Многогранник называется правильным, если: 1) он выпуклый; 2) все его грани – равные друг другу правильные многоугольники; 3) в каждой его вершине сходится одинаковое

    число ребер; 4) все его двугранные равны.

    Примером правильного многогранника является куб: он является выпуклым многогранником, все его грани – равные квадраты, в каждой вершине сходятся три ребра, и все двугранные углы куба

    прямые. Правильный тетраэдр также является правильным многогранником.

    Возникает вопрос: сколько существует различных типов правильных многогранников?

    Пять типов правильных многогранников.

    Рассмотрим произвольный правильный многогранник М, у которого В вершин, Р ребер и Г граней. По теореме Эйлера для этого многогранника выполняется равенство:

    В - Р + Г = 2.

    Пусть каждая грань данного многогранника содержит

    m ребер (сторон), и в каждой вершине сходятся

    n ребер. Очевидно,

    Так как

    у многогранника В вершин, и каждой из

    которых сходятся

    n ребер, то получаем

    ребер. Но любое ребро соединяет две вершины многогранника, поэтому в произведение

    каждое ребро войдет дважды. Значит у многогранника имеется

    различных ребер. Тогда

    В =

    Далее, в каждой грани многогранника М содержится

    m ребер, а число граней равно Г. Так как каждое ребро принадлежит двум смежным граням, то число

    различных ребер многогранника равно

    Из (1), (3), (4) получаем

    - Р +

    = 2, откуда

    Таким образом, имеем

    Из неравенств 3

    следует, что гранями правильного многогранника могут быть либо правильные треугольники, либо правильные четырехугольники, либо правильные пятиугольники. Причем в

    случаях

    n = 4;

    m = 4,

    n = 5;

    m = 5,

    n = 4;

    n = 5 приходим к противоречию с условием

    n = 3; 2)

    m = 4,

    n = 3; 3)

    m = 3,

    n = 4; 4)

    m = 5,

    n = 3; 5)

    m = 3,

    n = 5.

    Рассмотрим каждый из этих случаев, используя соотношения (5), (4) и (3).

    n = 3 (каждая грань многогранника – правильный треугольник. Это – известный нам правильный тетраэдр («тетраэдр» означает четырехгранник). SHAPE

    * MERGEFORMAT

    m = 4,

    n = 3 (каждая грань квадрат, и в каждой вершине сходятся три ребра). Имеем

    Р = 12; В =

    Г =

    Получаем правильный шестигранник, у которого каждая грань – квадрат. Этот многогранник называется правильным гексаэдром и является кубом («гексаэдр» -- шестигранник), любой

    параллелепипед – гексаэдр.

    SHAPE

    * MERGEFORMAT

    m = 3,

    n = 4 (каждая грань –правильный треугольник, в каждой вершине сходятся четыре ребра). Имеем

    В =

    Получаем правильный восьмигранник, у которого каждая грань – правильный треугольник. Этот многогранник называется правильным октаэдром («октаэдр» -- восьмигранник).

    SHAPE

    * MERGEFORMAT

    m = 5,

    n = 3 (каждая грань – правильный пятиугольник, в каждой вершине сходятся три ребра). Имеем:

    Р = 30; В =

    Получаем правильный двенадцатигранник, у которого каждая грань – правильный пятиугольник. Этот многогранник называется правильным додекаэдром («додекаэдр» -- двенадцатигранник).

    SHAPE

    * MERGEFORMAT

    m = 3,

    n = 5 (каждая грань – правильный треугольник, в каждой вершине сходятся пять ребер). Имеем

    В =

    Получаем правильный двадцатигранник. Этот многогранник называется правильным икосаэдром («икосаэдр» - двадцатигранник).

    SHAPE

    * MERGEFORMAT

    Таким образом, мы получили следующую теорему.

    Теорема. Существует пять различных ( с точностью до подобия) типов

    правильных многогранников: правильный тетраэдр, правильный гексаэдр

    (куб), правильный октаэдр, правильный додекаэдр и правильный икосаэдр.

    К этому заключению можно прийти несколько иначе.

    Действительно, если грань правильного многогранника – правильный треугольник, и в одной вершине сходятся

    k ребер, т.е. все плоский углы выпуклого

    k-гранного угла равны

    k может принимать значения: 3;4;5. при этом Г =

    k ) = 12. Тогда

    при

    k = 3 получаем: В = 4, Г = 4 , Р = 6 (правильный тетраэдр);

    при

    k = 4 получаем: В = 6, Г = 8, Р = 12 (правильный октаэдр);

    при

    k = 5 получаем: В = 12, Г = 20, Р = 30 (правильный икосаэдр).

    Если грань правильного многогранника – правильный четырехугольник , то

    k = 3. Тогда: Г =

    , Р=

    = 2 или

    8, Г = 6, Р = 12 – мы получаем куб (правильный гексаэдр).

    Если гранью правильного многогранника является правильный пятиугольник, то

    k = 3 и Г =

    20, Г = 12, Р = 30 (правильный додекаэдр).

    Начиная с правильных шестиугольников, предположительно являющихся гранями правильного многогранника, плоские углы становятся не меньше

    k = 3 их сумма становится не менее

    На рисунках изображены разверстки каждого из пяти правильных многогранников.

    Правильный тетраэдр

    SHAPE

    * MERGEFORMAT

    Правильный октаэдр

    SHAPE

    * MERGEFORMAT

    Правильный гексаэдр

    SHAPE

    * MERGEFORMAT

    Правильный икосаэдр

    SHAPE

    * MERGEFORMAT

    Правильный додекаэдр

    SHAPE

    * MERGEFORMAT

    Некоторые свойства правильных многогранников приведены в следующей таблице.

    Вид грани

    Плоский угол

    при вершине

    Вид

    многогранного

    угла при вершине

    Сумма плоских

    углов при вершине

    Название многогранника

    Правильный

    треугольник

    3-гранный

    Правильный тетраэдр

    Правильный

    треугольник

    4-гранный

    Правильный октаэдр

    Правильный

    треугольник

    5-гранный

    Правильный икосаэдр

    Квадрат

    3-гранный

    Правильный

    гексаэдр (куб)

    Правильный

    пятиугольник

    3-гранный

    Правильный

    додекаэдр

    У каждого из правильных многогранников, помимо уже указанных, нас чаще всего будут интересовать:

    1. Величина его двугранного угла при ребре (при длине ребра

    2. Площадь его полной поверхности (при длине ребра

    3. Его объем (при длине ребра

    4. Радиус описанной около него сферы (при длине ребра

    5. Радиус вписанной в него сферы (при длине ребра

    6. Радиус сферы, касающихся всех его ребер (при длине ребра

    Наиболее просто решается вопрос о вычислении площади полной поверхности правильного многогранника; она равна Г

    одной грани.

    Напомним,

    , что дает нам возможность записать в радикалах:

    а) для площади грани правильного многогранника

    Вид грани

    Длина стороны

    Длина апофемы грани

    Площадь грани

    Правильный треугольник

    Квадрат

    0,5a

    Правильный пятиугольник

    б) для площади полной поверхности правильного многогранника

    Вид многогранника

    Вид граней

    Количество граней

    Площадь полной поверхности

    Правильный тетраэдр

    Правильный треугольник

    Правильный октаэдр

    Правильный треугольник

    Правильный икосаэдр

    Правильный треугольник

    Правильный гексаэдр (куб)

    Квадрат

    Правильный додекаэдр

    Правильный пятиугольник

    Теперь перейдем к вычислению величины двугранного угла

    правильного многогранника при его ребре. Для правильного тетраэдра и куба вы легко найдете величину этого угла.

    В правильном додекаэдре все плоские углы его граней равны

    , откуда

    На изображенном правильном октаэдре

    ABCDMF вы можете убедиться, что двугранный угол

    при ребре октаэдра равен 2

    arctg

    Для нахождения величины двугранного угла

    при ребре правильного икосаэдра можно рассмотреть трехгранный угол

    ABCD

    при вершине А: его плоские углы ВАС и

    CAD равный

    , а третий плоский угол

    BAD, против которого лежит двугранный угол

    , равен

    BCDMF – правильный пятиугольник). По теореме косинусов для тр...

    Забрать файл

    Похожие материалы:


    Добавить комментарий
    Старайтесь излагать свои мысли грамотно и лаконично

    Введите код:
    Включите эту картинку для отображения кода безопасности
    обновить, если не виден код



ПИШЕМ УНИКАЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Заказывайте напрямую у исполнителя!


© 2006-2016 Все права защищены